Question

已知函數(shù)f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）當(dāng)m=0時，求f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的取值范圍；
（2）當(dāng)tana=2時，f(a)=

3

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分別利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值把
f（x）化為一個角的正弦函數(shù)，利用x的范圍求出此正弦函數(shù)角的范圍，根據(jù)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象即可得到f（x）的值域；
（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及積化和差公式化簡得到關(guān)于sin2x和cos2x的式子，把x換成α，根據(jù)tanα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系以及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=

3

5

中得到關(guān)于m的方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時，f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x=sin2x+sinxcosx=

1-cos2x+sin2x

2

=

1

2

[

2

sin(2x-

π

4

)+1]，
由已知x∈[

π

8

，

3π

4

]，得sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，從而得：f（x）的值域為[0，

1+ 2

2

]．

（2）因為f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=sin²x+sinxcosx+

m(cos π 2 -cos2x)

2

=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-

mcos2x

2

=

1

2

[sin2x-(1+m)cos2x]+

1

2

所以f(α)=

1

2

[sin2α-(1+m)cos2α]+

1

2

=

3

5

①
當(dāng)tanα=2，得：sin2a=

2sinacosa

sin2a+cos2a

=

2tana

1+tan2a

=

4

5

，cos2a=-

3

5

，
代入①式，解得m=-2．

點評：考查三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題．依托三角函數(shù)化簡，考查函數(shù)值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中檔題．