Question

．（本題滿分12分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點.

   （1）求證：AB₁// 面BDC₁；

　 （2）求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）在側(cè)棱AA­₁上是否存在點P，使得

CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（I）證明：

          連接B₁C，與BC₁相交于O，連接OD

        ∵BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中點.又D是AC的中點，

∴OD//AB₁.∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁

∴AB₁//面BDC₁.           

（II）解：如力，建立空間直角坐標系，則

         C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）

         設(shè)=（x₁，y₁，z₁）是面BDC₁的一個法向量，則

即.…………6分

易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量.

∴二面角C₁—BD—C的余弦值為 

   （III）假設(shè)側(cè)棱AA₁上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.

         則

          ∴方程組無解.∴假設(shè)不成立. ∴側(cè)棱AA₁上不存在點P，使CP⊥面BDC₁.

 

【解析】略