Question

【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面 平面，點、分別為、中點.

（1）求證： 平面；

（2）若，求平面DEF與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（I）取中點，連接．可證得四邊形是平行四邊形， ，

而平面， 平面，有平面

（II）取中點，連接，證明，以為原點，OA,OP為x,y軸

建立空間直角坐標系，用向量法求解即可.

試題解析：（I）證明：取中點，連接．

在△中，有

分別為、中點

在矩形中， 為中點

四邊形是平行四邊形

而平面， 平面

平面

（II）取中點，連接，設.

四邊形是矩形

平面 平面,平面 平面= ， 平面

平面

又 ， ， 為中點

， ， .

故可建立空間直角坐標系，如圖所示，則

， ， ， ，

，

，

設是平面的一個法向量，則

，即

不妨設，則．

易知向量為平面的一個法向量．

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.