Question

已知函數(shù)f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)b＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-b，b]上最大值與最小值的差為b，求b的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函數(shù)，得到f（0）=0，從而求得a值即可；
（II）由（I）得函數(shù)f（x）=|x|•x（a∈R）在區(qū)間[-b，b]上增函數(shù)，結(jié)合題意：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-b，b]上最大值與最小值分別為：b²，-b²，列出方程即可求得b值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函數(shù)
∴f（0）=0，
∴a=0．
（II）函數(shù)f（x）=|x|•x（a∈R）在區(qū)間[-b，b]上增函數(shù)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-b，b]上最大值與最小值分別為：b²，-b²，
∴b²+b²=b．
∴b=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的最值及其幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．