Question

在數(shù)列中，已知.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）為數(shù)列的前項(xiàng)和，求；

（3）若總存在正自然數(shù)，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

解:（1）解法一：∵，

∴  ，

∴ 猜想 ，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）

解法二： ∵ , ∴, ∴ ,

又, ∴ 數(shù)列是以2為公比、以-2為首項(xiàng)的等比數(shù)列,

∴ ， ∴

（2）由（1）得:,∴

,  ∴ ,

令, 則,

兩式相減得:

∴ , 即,∴=2.

   （3） ∵

令,則,

當(dāng)時(shí), ,

∴在單調(diào)遞減,

∴ 單調(diào)遞增, ∴ ,

∴ , ∴若總存在正自然數(shù)，使成立,則.

解法二：，令，

則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴數(shù)列單調(diào)遞增，

又，

從而有  .

∴ 若總存在正自然數(shù)，使成立,則.