Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點(diǎn) 再取兩個動點(diǎn)，，且．

（Ⅰ）求直線與交點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過的直線與軌跡C交于P,Q，過P作軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N，F為軌跡C的右焦點(diǎn)，若,求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）見解析.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）先建立動直線的方程，再運(yùn)用消參法探求軌跡方程； （Ⅱ）借助直線與橢圓的位置關(guān)系推證：

（Ⅰ）依題意知直線A1N1的方程為 ①

直線A2N2的方程為 ②………………………………2分

設(shè)M(x，y)是直線A1N1與A2N2交點(diǎn)，①×②得 ,

由mn＝2，整理得； ………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)，

由 （） ………………………………6分

由故, ………………8分

要證,即證,只需證：

只需即證 即,………10分

由（）得：，即證. ……………………12分

（本題亦可先證直線NQ過焦點(diǎn)F，再由得證）