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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域、值域均為R,f(x)的反函數(shù)為f-1(x),且對任意實數(shù)x,均有f(x)+f-1(x)<
          5
          2
          x
          ,定義數(shù)列an:a0=8,a1=10,an=f(an-1),n=1,2,….
          (1)求證:an+1+an-1
          5
          2
          an(n=1,2,…)

          (2)設(shè)bn=an+1-2an,n=0,1,2,….求證:bn<(-6)(
          1
          2
          )n
          (n∈N*);
          (3)是否存在常數(shù)A和B,同時滿足①當n=0及n=1時,有an=
          A•4n+B
          2n
          成立;②當n=2,3,…時,有an
          A•4n+B
          2n
          成立.如果存在滿足上述條件的實數(shù)A、B,求出A、B的值;如果不存在,證明你的結(jié)論.
          (1)∵f(x)+f-1(x)<
          5
          2
          x
          ,令x=an,∴f(an)+f-1(an)<
          5
          2
          an

          an+1+a n-1
          5
          2
          an

          (2)∵an+1
          5
          2
          an-an-1
          ,∴an+1-2an
          1
          2
          (an-2an-1)
          ,
          bn
          1
          2
          bn-1
          .∵b0=a1-2a0=-6,
          bn
          1
          2
          bn-1(
          1
          2
          )
          2
          bn-2<…<(
          1
          2
          )
          n
          b0=(-6)(
          1
          2
          )
          n
          (n∈N*).
          (3)由(2)可知:an+1<2an+(-6)(
          1
          2
          )n

          假設(shè)存在常數(shù)A和B,使得an=
          A•4n+B
          2n
          對n=0,1成立,
          a0=A+B=8
          a1=
          4A+B
          2
          =10
          ,解得A=B=4.
          下面用數(shù)學歸納法證明an
          4n+4
          2n
          對一切n≥2,n∈N成立.
          1°當n=2時,由an+1+an-1
          5
          2
          an
          ,得a2
          5
          2
          a1-a0=
          5
          2
          ×10-8=17=
          42+4
          22

          ∴n=2時,an
          4n+4
          2n
          成立.
          2°假設(shè)n=k(k≥2),不等式成立,即ak
          4k+4
          2k
          ,
          ak+1<2ak+(-6)(
          1
          2
          )k
          4k+8
          2k
          +
          -6
          2k
          =
          4k+2
          2k
          =
          4k+1+4
          2k+1

          即是說當n=k+1時,不等式也成立.
          所以存在A,B,且A=B=4.
          練習冊系列答案
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          3
          2
          )與b=f(
          15
          2
          )的大小關(guān)系為
          a>b
          a>b

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          1
          4
          ]
          時,f(x)≥2x恒成立.則f(
          3
          7
          )+f(
          5
          9
          )
          =
          1
          1

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

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          設(shè)函數(shù)f(x)的定義在R上的偶函數(shù),且是以4為周期的周期函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)=2x-cosx,則a=f(-)與b=f()的大小關(guān)系為   

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          設(shè)函數(shù)f(x)的定義在R上的偶函數(shù),且是以4為周期的周期函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)=2x﹣cosx,則a=f(﹣)與b=f()的大小關(guān)系為(    ).

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