Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

 

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由題意知，

所以．

即．

又因?yàn)?img border=0 width=103 height=48 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/172/122172.gif" >，

所以，．

故橢圓的方程為．…………………………………………4分

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

由  得．       ①

…………………………………………6分

設(shè)點(diǎn)，，則．

直線的方程為．

令，得．

將，代入，

整理，得．                   ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直線與軸相交于定點(diǎn)．……………………………………9分

（Ⅲ）當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，且

，在橢圓上．

由  得．    

易知．

所以，， ．

則．

因?yàn)?img border=0 width=47 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/213/122213.gif" >，所以．

所以．

當(dāng)過點(diǎn)直線的斜率不存在時，其方程為．

解得，．

此時．

所以的取值范圍是．……………………………………13分