Question

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，OA•OB=

5

6

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)P，滿足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a²-b²=1．①
∵當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（1，

b2

a

）和（1，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=（1，

b2

a

）•（1，-

b2

a

）=1-

b4

a2

，則1-

b4

a2

=

5

6

，即a²=6b⁴．②
由①，②消去a，得6b⁴-b²-1=0．∴b²=

1

2

或b²=-

1

3

．
當(dāng)b²=

1

2

時(shí)，a²=

3

2

．因此，橢圓C的方程為

2x2

3

+2y²=1．
（Ⅱ）設(shè)存在滿足條件的直線l．
（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，由（Ⅰ）的解答可知|AB|=

2b2

a

=

6

3

，焦點(diǎn)F到右準(zhǔn)線的距離為d=

a2

c

-c=

1

2

，
此時(shí)不滿足d=

3

2

|AB|．
因此，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)不滿足條件．
（2）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) 2x2 3 +2y2=1

?（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

6k2-3

6k2+2

．
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 6k2 3k2+1 )2-4( 6k2-3 6k2+2 )]

=-

6 (k2+1)

3k2+1

．
又設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則x_M=

x1+x2

2

=

3k2

3k2+1

．
當(dāng)△ABP為正三角形時(shí)，直線MP的斜率為k_MP=-

1

k

．
∵x_p=

3

2

，∴|MP|=

1+ 1 k2

|x_p-x_M|=

1+ 1 k2

•（

3

2

-

3k2

3k2+1

）=

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

．

當(dāng)△ABP為正三角形時(shí)，|MP|=

3

2

|AB|，即

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

=

3

2

•

6 (k2+1)

3k2+1

，
解得k²=1，k=±1．
因此，滿足條件的直線l存在，且直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．