Question

已知點(diǎn)M在橢圓(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F．

(1)若圓M與y軸相交于A、B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程；

(2)若點(diǎn)F(1，0)，設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)恒有|OC|²＋|OD|²＜|CD|²，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓M的半徑r＝2，　　1分 　　∴M到y(tǒng)軸的距離d＝　　2分 　　又圓M與x軸相切，∴當(dāng)x＝c時(shí)，得y＝，r＝　　3分 　　∴＝2，c＝　　4分 　　∵解得a＝3或a＝－1(舍去)， 　　則b2＝2a＝6．　　5分 　　故所求的橢圓方程為．　　6分 　　(2)設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)． 　�、佼�(dāng)直線CD與x軸重合時(shí)，有 　　∵c＝1，∴a2＝b2＋c2＞1， 　　恒有　　7分 　�、诋�(dāng)直線CD不與x軸重合時(shí)， 　　設(shè)直線CD的方程為x＝my＋1，代入 　　整理得　　8分 　　∴ 　　∵恒有，∴恒為鈍角， 　　則＝x1x2＋y1y2＜0恒成立　　9分 　　∴x1x2＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝ 　　＋1 　　　　10分 　　又＞0 　　∴＜0對(duì)mR恒成立， 　　即對(duì)mR恒成立． 　　當(dāng)mR時(shí)，的最小值為0，∴＜0．　　11分 　　∴，即 　　∴a＞0，b＞0，∴a＜b2，即a＜a2－1，∴a2－a－1＞0． 　　解得或，即． 　　由①②可知，a的取值范圍是(，＋∞)　　12分