Question

設(shè)圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成的兩段圓弧,其弧長之比為3∶1.在滿足①②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

Answer 1

解法一:設(shè)圓心P(a,b),若半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

又P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,知圓P截x軸所得弦長為r,故r²=2b².

又圓P截y軸所得弦長為2,

∴有r²=a²+1.∴2b²-a²=1.

又P到直線x-2y=0的距離為d=,

∴5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,此時5d²=1,從而d取最小值.解得r=.∴方程為(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+

(y+1)²=2.

解法二:同解法一得d=,

∴a-2b=±d.

得a²=4b²±4bd+5d².                                                       ①

把a²=2b²-1代入①,整理得2b²±4bd+5d²+1=0.                                 ②

由Δ≥0,得d≥.取等號時,b=±1.

再代入r²=2b²,得r²=2.

由r²=a²+1得a=±1.

又|a-2b|=1,

∴a、b同號.

∴方程為(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.