Question

（2013•韶關(guān)一模）如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=4，C是⊙O上一點，且PA=AC=BC，

PE

PC

=

PF

PB

=λ．
（1）求證：EF∥面ABC；
（2）求證：EF⊥AE；
（3）當λ=

1

2

時，求三棱錐A-CEF的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線線平行證明線面平行即可；
（2）先根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直；
（3）利用三棱錐的換底性與棱錐的體積公式求解即可．

解答：解：（1）證明：在三角形PBC中，∵

PE

PC

=

PF

PB

=λ
∴EF∥BC，又BC?面ABC，EF?面ABC，
∴EF∥面ABC
（2）

PA⊥面ABC BC?面ABC

⇒BC⊥PA
又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，
∴BC⊥面PAC．
∵EF∥BC  BC⊥面PAC，∴EF⊥面PAC
∵AE?面PAC，
∴EF⊥AE．
（3）∵在Rt△ABC中，AB=4∴PA=AC=BC=2

2

當λ=

1

2

時，E是PC中點．F為PB中點∴EF=

1

2

BC=

2

S△EAC=

1

2

S△PAC=

1

2

×

1

2

PA•AC=

1

2

×

1

2

×2

2

×2

2

=2，
∵EF⊥面PAC
∴V_A-CEF=V_F-ACE=

1

3

×S_△ACE×EF=

1

3

×2×

2

=

2 2

3

．

點評：本題考查線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì)及棱錐的體積計算．