Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若（n∈N^*）是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”．
（1）若數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{b_n}是否為“和等比數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{c_n}是首項為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列{c_n}是“和等比數(shù)列”，試探究d與c₁之間的等量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得b_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得T_n和T_2n，進而可求得，判斷出數(shù)列{b_n}為“和等比數(shù)列”；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為R_n，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得R_n和R_2n，代入中，求得d=2c₁．
解答：解：（1）因為數(shù)列是首項為2，
公比為4的等比數(shù)列，
所以，
因此b_n=2n-1．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，
則T_n=n²，T_2n=4n²，所以，
因此數(shù)列{b_n}為“和等比數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和為R_n，且，
因為數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，
所以，，
所以對于n∈N^*都成立，
化簡得，（k-4）dn+（k-2）（2c₁-d）=0，
則，因為d≠0，所以k=4，d=2c₁，
因此d與c₁之間的等量關(guān)系為d=2c₁．
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．在高考中等比數(shù)列常用對數(shù)函數(shù)、不等式、極限等知識綜合考查，應(yīng)多注意等比數(shù)列與其他知識的聯(lián)系．