Question

（本小題滿分12分）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F（2，0）是它的一個焦點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交雙曲線于A、B兩點，l₂交雙曲線于C、D兩點，

求的值．

Answer 1

20.解：（1）∵ 雙曲線的漸近線方程為，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．所以雙曲線的方程為．  4分

（2）① 當(dāng)直線l₁、l₂其中一條與x軸垂直，不妨設(shè)l₁⊥x軸時，

則，，，．

∴ ，，

∴ ．      … 5分

② 當(dāng)直線l₁、l₂都不與x軸垂直時，

設(shè)l₁：y = k（x－2），k≠0，則 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁與雙曲線有兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．         ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

綜合①②，得．                                   …………… 12分