Question

已知C（1，0），O為坐標原點，過雙曲線的右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點。

   （1）求的值；

   （2）若動點M滿足，求點M的軌跡方程。

Answer 1

解：（I）當AB與x軸垂直時，點A、B的坐標分別為（2，、）、（2，），

    此時=（1，）?（1，）=-1

    當AB不與x軸垂直時，設(shè)直線AB的方程是y=k（x--2）（k≠±1）

    代人X²-y²=2，有（1--k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．

    設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂，y₂），則x₁,x₂是上述方程的兩個實根，

所以， 

于是

          

          

           ． 

    綜上所述，-1．

  （Ⅱ）設(shè)M（x，y），則=（x-1，y），

 

    由得：

(以下分兩種解法)    

 解法一：于是AB的中點坐標為．

當AB不與x軸垂直時，

即

又因為A，B兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得

（x₁一x₂）（x₁₊ x₂）=(y_1-y₂）(y₁+y₂），即（x₁一x₂）（x+2）=（y₁-y₂）y．

將代入上式，化簡得x²-y²=4

當AB與x軸垂直時，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也滿足上述方程．

所以點M的軌跡方程是x²一y²=4  

解法二：當AB不與x軸垂直時，由（I）可知：

消去參數(shù)k得：x²一y²=4   

當AB與x軸垂直時，x₁=x₂=2，y_l+y₂=0，求得M（2，0），也滿上述方程   

所以點M的軌跡方程是x²-y²=4.