Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數(shù)（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}；
②M={（x，y）|y=e^x-2}；
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}．
其中是“垂直對點集”的序號是

②③

．

Answer 1

分析：對于①，利用x1x2+

1

x1x2

=0無實數(shù)解，判斷其正誤即可．
對于②，畫出函數(shù)y=e^x-2圖象，利用圖象說明函數(shù)滿足“垂直對點集”的定義，即可判斷正誤；
對于③，畫出函數(shù)y=cosx圖象，利用圖象說明函數(shù)滿足“垂直對點集”的定義，即可判斷正誤；
對于④，畫出函數(shù)y=lnx圖象，取一個特殊點即能說明不滿足“垂直對點集”定義．

解答：解：對于①，注意到x1x2+

1

x1x2

=0無實數(shù)解，因此①不是“垂直對點集”； 
對于②，如下左圖，注意到過原點任意作一條直線與曲線y=e^x-2相交，過原點與該直線垂直的直線必與曲線y=e^x-2相交，因此②是“垂直對點集”；
對于③，如下中圖，注意到過原點任意作一條直線與曲線y=cosx相交，過原點與該直線垂直的直線必與曲線y=cosx相交，因此③是“垂直對點集”；
對于④，如下右圖，注意到對于點（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lnx₂=0，因為x₂=0與真數(shù)的限制條件x₂＞0矛盾，因此④不是“垂直對點集”．

故答案為：②③

點評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．