Question

下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減的有

③

．
①y=sinx
②a＜b
③y=ln

2-x

2+x

④y=

1

2

(2x+2-x)．

Answer 1

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象判斷出y=sinx的單調(diào)性，利用奇函數(shù)的定義判斷出其奇偶性，得到①錯；只有函數(shù)才有奇偶性和單調(diào)性，得到②錯；利用奇函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到③對；據(jù)奇函數(shù)的定義及函數(shù)單調(diào)性的定義得到④錯．

解答：解：對于①，∵sin（-x）=-sinx且y=sinx在[-

π

2

，

π

2

]遞增，∴y=sinx在[-1，1]上遞增，故①錯
對于②，a＜b是不等式，故②錯
對于③，∵ln

2-(-x)

2+(-x)

=ln

2+x

2-x

=-ln

2-x

2+x

，y=ln

2-x

2+x

=ln(-1+

4

x+2

)
∴y=ln

2-x

2+x

既是奇函數(shù)又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減
故③對
對于④，y=

1

2

(2x+2-x)是奇函數(shù)但不是[-1，1]上的減函數(shù)，故④錯
故答案為③

點評：解決函數(shù)的奇偶性問題，一般利用奇偶性的定義；解決函數(shù)的單調(diào)性常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法、符號函數(shù)的單調(diào)性．