Question

設A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）兩點在拋物線y=2x²上，l是AB的垂直平分線．
1）當且僅當x₁+x₂取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；
2）當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵拋物線y=2x²，即x²=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦點為F（0，

1

8

）
（1）直線l的斜率不存在時，顯然有x₁+x₂=0
（2）直線l的斜率存在時，設為k，截距為b
即直線l：y=kx+b由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

⇒

2x 21 + 2x 22 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 21 - 2x 22 x1-x2 =- 1 k

⇒

x 21 + x 22 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

⇒x₁²+x₂²=-

1

4

+b≥0⇒b≥

1

4

．
即l的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點F（0，

1

8

）
所以當且僅當x₁+x₂=0時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F
（II）設直線l的方程為：y=2x+b，
故有過AB的直線的方程為y=-

1

2

x+m，代入拋物線方程有2x²+

1

2

x-m=0，得x₁+x₂=-

1

4

．
由A、B是拋物線上不同的兩點，于是上述方程的判別式△=

1

4

+8m＞0，也就是：m＞-

1

32

．
由直線AB的中點為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）=（-

1

8

，

1

16

+m），
則

1

16

+m=-

1

4

+b，于是：b=

5

16

+m＞

5

16

-

1

32

=

9

32

．
即得l在y軸上的截距的取值范圍是（

9

32

，+∞）．