Question

已知數列a_n，點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函數y=2x+m的圖象上，數列b_n滿足條件b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*，b₁≠0）．
（I）求證：數列b_n是等比數列；
（II）設數列a_n，b_n的前n項和分別為S_n、T_n且S₆=T₄，S₅=-9，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知a_n+1=2a_n+m，所以a_n+1+m=2（a_n+m），又b_n=a_n+1-a_n=2（a_n+m）-a_n=a_n+m，b_n+1=a_n+1+m=2（a_n+m）=2b_n，且b₁=a₁+m≠0，由此證明數列b_n是以a₁+m為首項，公比為2的等比數列．
（Ⅱ）由S₆=T₄b_n=a_n+m，知a₁+a₂+…+a₅+a₆=a₁+a₂+a₃+a₄+4m，a₅+a₆=4m．由（Ⅰ）知b_n=（a₁+m）×2^n-1，則a_n=（a₁+m）•2^n-1-m，由此可求出實數m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵P（a_n，a_n+1）在一次函數y=2x+m的圖象上∴a_n+1=2a_n+m
∴a_n+1+m=2（a_n+m）又b_n=a_n+1-a_n=2（a_n+m）-a_n=a_n+m
∴b_n+1=a_n+1+m=2（a_n+m）=2b_n，且b₁=a₁+m≠0
∴數列b_n是以a₁+m為首項，公比為2的等比數列（6分）
（Ⅱ）∵S₆=T₄b_n=a_n+m
∴a₁+a₂+…+a₅+a₆=a₁+a₂+a₃+a₄+4m
∴a₅+a₆=4m（7分）
由（Ⅰ）知b_n=（a₁+m）×2^n-1即a_n+m=（a₁+m）•2^n-1則a_n=（a₁+m）•2^n-1-m
∴（a₁+m）×2⁴-m+（a₁+m）×2⁵-m=4m
∴a1=-

7

8

m（10分）
∵S₅=-9a_n+m是以2為公比的等比數列∴

m 8 (1-25)

1-2

-5m=-9
解得：m=8（12分）

點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要注意公式的合理運用．