Question

已知{a_n}是首項為a₁=1的等差數(shù)列且滿足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比數(shù)列{b_n}的前三項分別為b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足（a_n+3）c_nlog₂b_n=

1

2

，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
首項a₁=1，b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d，
∵{b_n}為等比數(shù)列，∴

b

22

=b1b3，
即（2+d）²=2（4+2d），解得d=±2，
又∵a_n+1＞a_n，即數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴d=2，a₂=3，a₃=5，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
則b₁=2，b₂=4，q=2，
∴bn=b1qn-1=2n，
∴a_n=2n-1，bn=2n，
（Ⅱ）由題意得，(an+3)cnlog2bn=

1

2

，再由（1）結(jié)果代入，
變形得cn=

1

2(an+3)log2bn

=

1

2n(2n+2)

=

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)，
∴S_n=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2n

-

1

2n+2

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2n+2

)=

n

4(n+1)

．