Question

已知雙曲線C的方程為=1（a＞0，b＞0），離心率，頂點到漸近線的距離為．
（I）求雙曲線C的方程；
（II）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由雙曲線標準方程求得頂點坐標和漸進線方程，進而根據頂點到漸近線的距離求得a，b和c的關系，進而根據離心率求得a和c的關系，最后根據c=綜合得方程組求得a，b和c，則雙曲線方程可得．
（2）由（1）可求得漸近線方程，設A（m，2m），B（-n，2n），根據得P點的坐標代入雙曲線方程化簡整理m，n與λ的關系式，設∠AOB=2θ，進而根據直線的斜率求得tanθ，進而求得sin2θ，進而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達式，根據λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點（O，a）到漸近線ax-by=0的距離為，
∴，
由，得
∴雙曲線C的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x．
設A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由得P點的坐標為，
將P點坐標代入，化簡得．
設∠AOB=2θ，∵，∴．
又
∴．
記，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，，
當λ=1時，△AOB的面積取得最小值2，當時，
△AOB的面積取得最大值
∴△AOB面積的取值范圍是．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力．