Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y²=8x的焦點為F．橢圓Σ的中心在坐標原點，離心率e=

1

2

，并以F為一個焦點．
（1）求橢圓Σ的標準方程；
（2）設A₁A₂是橢圓Σ的長軸（A₁在A₂的左側），P是拋物線C在第一象限的一點，過P作拋物線C的切線，若切線經(jīng)過A₁，求證：tan∠A1PA2=

2

．

Answer 1

分析：（1）設橢圓Σ的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由拋物線方程可求得F坐標，從而可得c，根據(jù)離心率

c

a

=

1

2

可得a，再由a²=b²+c²可求得b；
（2）拋物線C在第一象限的部分可看作函數(shù)y=

8x

=2

2

•

x

（x＞0）的圖象，不妨設P(

y02

8

，y0)（y₀＞0），切線PA₁的斜率kPA1=y/|x=x0=

4

y0

，利用點斜式可得PA₁的方程，再代入點A₁（-4，0）可求y0=4

2

，從而可判斷△PA₁A₂的形狀，通過解三角形可得到結論；

解答：（1）解：依題意，設橢圓Σ的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
2p=8，所以p=4，

p

2

=2，F(xiàn)（2，0），c=2，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=4，b²=a²-c²=12，
所以橢圓Σ的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）證明：拋物線C在第一象限的部分可看作函數(shù)y=

8x

=2

2

•

x

（x＞0）的圖象，
依題意，不妨設P(

y02

8

，y0)（y₀＞0），
因為y/=2

2

•

1

2 x

=

2 x

，
所以切線PA₁的斜率kPA1=y/|x=x0=

4

y0

，PA₁：y-y0=

4

y0

(x-

y02

8

)，
由（1）得A₁（-4，0），代入解得y0=4

2

，則P(4，4

2

)，A₂（4，0），∴PA₂⊥A₁A₂，
在Rt△PA₁A₂中，A₁A₂=8，PA2=4

2

，∠PA₂A₁是直角，所以tan∠A1PA2=

A1A2

PA2

=

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、拋物線橢圓的方程及導數(shù)的幾何意義，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，屬中檔題．