Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足，設．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n•b_n}中最大項；
（3）求證：對于給定的實數λ，一定存在正整數k，使得當n≥k時，不等式λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用遞推關系，再寫一式，兩式相減，可得，利用，即可證明數列{b_n}是等差數列，從而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{a_n•b_n}的通項，從而可得數列的單調性，即可求最大項；
（3）利用錯位相減法求數列的和，確定相應的值域，即可證得結論．
解答：（1）證明：∵，
∴n≥2時，
兩式相減可得
∴
∴
∵
∴b_n-b_n-1=4
∵n=1時，，∴
∴=-1
∴數列{b_n}是以-1為首項，4為公差的等差數列
∴，
（2）解：a_n•b_n=
令f（n）=，則=
令＜1，則16n²-72n+49＞0
∴n＞5時，＜1，n＜5時，＞1
∴數列從第一項到第四項，單調遞增，從第五項開始，單調遞減
所以最大項是第四項；
（3）證明：∵
∴數列{a_n}的前n項和為S_n=++…+
∴S_n=+…++
兩式相減可得S_n=++…+-
∴S_n=3-
∴S₁=
∴S_n的值域[，3），
∵b_n=4n-5，∴b_n的值域[-1，+∞），
∴對于給定的實數λ，一定存在正整數k，使得當n≥k時，不等式λS_n＜b_n恒成立．
點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查數列的單調性，考查學生分析解決問題的能力，能力要求強，有難度．