Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點．
（1）求證：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出各頂點的坐標(biāo)及直線與PA與EF的方向向量，然后代入向量數(shù)量積公式，易得兩個向量的數(shù)量積為0，故PA⊥EF；
（2）在（1）中所示的坐標(biāo)系中，我們求也平面DFG和平面EFG的法向量，然后代入二面角的向量法夾角公式中，即可得到二面角D-FG-E的余弦值．

解答：證明：（1）以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則F（0，0.1），E（0，1，1），P（0，0，2），A（2，0，0），
∴

PA

=(2，0，-2). 

EF

=(0，-1，0)、
∵

PA

•

EF

=(2，0，-2)•(0，-1，0)=0，
∴PA⊥EF
解：（2）D（0，0，0），F(xiàn)（0，0，1），G（1，2，0），

DF

=(0，0，1) ，

EF

=(0，-1，0)， 

FG

\(1，2，-1)=（1，2，-1）
設(shè)平面DFG的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），
∵

m • DF =0 m • FG =0

∴

z1 =0 x1+2y1-z1=0

令y₁=1，得

m

=（-2，1，0）是平面DFG的一個法向量、
設(shè)平面EFG的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），
∴

n • EF =0 n • FG =0

∴

-y2 =0 x2+2y2-z2=0

，令z₂=1，得

n

=（1，0，1）是平面EFG的一個法向量、
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m|•| n |

=

-2

5 • 2

=

-2

10

=-

10

5

設(shè)二面角D-EG-E的平面角為θ，
則θ=＜

m

，

n

＞、
所以二面角D-FG-G的余弦值為-

10

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及二面角的平面角及求法，空間向量法解決夾角問題的其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系?明確相關(guān)點的坐標(biāo)?明確相關(guān)向量的坐標(biāo)?通過空間向量的坐標(biāo)運算求解．