Question

設f（x）=sin（x-sinx），x∈R．關于f（x）有以下結論：
①f（x）是奇函數(shù)；  
②f（x）的值域是[0，1]；  
③f（x）是周期函數(shù)；
④x=π是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；  
⑤f（x）在[0，π]上是增函數(shù)．
其中正確結論的序號是

①③

．

Answer 1

分析：根據已知求出f（-x）的解析式，并分析它是否與f（x）相等，結合函數(shù)奇偶性的定義可判斷①的真假，
根據內函數(shù)的值域為R，結合正弦函數(shù)的性質可判斷②的真假；
求出f（x+2π）的解析式，并分析它是否與f（x）相等，結合函數(shù)周期性的定義可判斷③的真假，
求出f（π+x）與f（π-x）的解析式，并分析它們是否相等，結合函數(shù)對稱性的定義可判斷④的真假，
求出函數(shù)的導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，可判斷⑤的真假．

解答：解：∵f（x）=sin（x-sinx），
∴f（-x）=sin[-x-sin（-x）]=sin（-x+sinx）=sin[-（x-sinx）]=-sin（x-sinx）=-f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，即①正確；
令u=x-sinx，則u∈R，則f（x）∈[-1，1]，即f（x）的值域是[-1，1]，即②錯誤；  
f（x+2π）=sin[x+2π-sin（x+2π）]=sin（x+2π-sinx）=sin（x-sinx）=f（x），故f（x）是周期函數(shù)，即③正確；
∵f（π+x）=sin[π+x-sin（π+x）]=sin（π+x+sinx）=-sin（x+sinx）；f（π-x）=sin[π-x-sin（π-x）]=sin（π-x-sinx）=sin（x+sinx），故（π，0）是y=f（x）圖象的一個對稱中心，故④錯誤；
∵f′（x）=cos（x-sinx）（1-cosx），當x∈（

5π

6

，π）時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，故⑤錯誤；
故答案為：①③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的奇偶性，值域，周期性，對稱性，單調性，復合函數(shù)等，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度較大．