Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

1

|x|

，
（1）若x∈[

2

2

，+∞），①判斷函數(shù)g（x）=f（x）-2x的單調(diào)性并加以證明；②如果f（x）≤2x恒成立，求a的取值范圍；
（2）若總存在m，n使得當(dāng)x∈[m，n]時，恰有f（x）∈[2m，2n]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①把f（x）的解析式代入后，直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；
②由①中的單調(diào)性求出g（x）的最大值，由最大值小于等于0求解a的范圍；
（2）求出函數(shù)的定義域，然后分m，n同正和同負兩種情況分析，借助于函數(shù)的單調(diào)性的方程組，然后再轉(zhuǎn)化為方程的根進行分析．

解答：解：（1）①x∈[

2

2

，+∞）時，g（x）=f（x）-2x=a-

1

x

-2x．
任取x1＞x2≥

2

2

，
g(x1)-g(x2)=

1

x2

+2x2-

1

x1

-2x1=

(x2-x1)(2x1x2-1)

x1x2

．
∵x1＞x2≥

2

2

，∴x₂-x₁0，x₁x₂＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，g（x₁）＜g（x₂）．
∴g（x）在[

2

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
②f（x）≤2x?g（x）≤0，∵g（x）在[

2

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴gmax(x)=g(

2

2

)=a-2

2

≤0，∴a≤2

2

．
（2）∵f（x）=a-

1

|x|

的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），∴mn＞0
若n＞m＞0，則f(x)=a-

1

x

，且在[m，n]上遞增，∴

f(m)=2m f(n)=2n

，∴

a= 1 m +2m a= 1 n +2n

．
∴m，n是2x+

1

x

=a的兩個根，即2x²-ax+1=0的兩個根，
∴

△=a2-8＞0 x1+x2= a 2 ＞0 x1x2= 1 2 ＞0

，解得a＞2

2

．
若m＜n＜0，則f（x）=a+

1

x

，且在[m，n]上遞減，
∴

f(m)=2n f(n)=2m

，∴

a+ 1 m =2n a+ 1 n =2m

，相減得：mn=

1

2

，代回得：a=0．
綜上所得：a的取值范圍是（2

2

，+∞）∪{0}．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義及證明，考查了函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．其中蘊涵了分類討論思想．是有一定難度題目．