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        1. 已知冪函數(shù)f(x)=x-
          1
          2
          p2+p+
          3
          2
          (p∈Z)在(0,+∞)上是增函數(shù),且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù).
          (1)求p的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x).
          (2)對于(1)中的f(x),是否存在正實(shí)數(shù)m,使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]
          ,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
          分析:(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=x-
          1
          2
          p2+p+
          3
          2
          在(0,+∞)上是增函數(shù),所以-
          1
          2
          p2+p+
          3
          2
          >0,解得-1<p<3由冪函數(shù)在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)且p∈Z,所以p=1,由此能求出函數(shù)f(x).
          (2)由f(x)=x2,知g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1=-x2+(2m-1)x+1,故g(-1)=-1-2m+1+1=1-2m,g(1)=-1+2m-1=2m-1,由g(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]
          ,知1-2m=-1,或2m-1=-1.由此能求出正實(shí)數(shù)m.
          解答:解:(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=x-
          1
          2
          p2+p+
          3
          2
          在(0,+∞)上是增函數(shù),
          所以-
          1
          2
          p2+p+
          3
          2
          >0,解得-1<p<3.(2分)
          ∵P是整數(shù),∴P的值為0,1,2,
          又冪函數(shù)在其定義域內(nèi)是偶函數(shù),所以p=1.(4分)
          ∴函數(shù)f(x)=x2.(6分)
          (2)存在正實(shí)數(shù)m,使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]

          ∵f(x)=x2,
          ∴g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1=-x2+(2m-1)x+1,
          ∴g(-1)=-1-2m+1+1=1-2m,
          g(1)=-1+2m-1=2m-1,
          ∵g(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]
          ,
          ∴1-2m=-1,或2m-1=-1.
          當(dāng)1-2m=-1時(shí),m=1,g(x)=-x2+x+1=-(x-
          1
          2
          2+
          5
          4
          5
          4
          ,
          ∴m=1時(shí),g(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]
          ,成立;
          當(dāng)2m-1=-1時(shí),m=0,g(x)=-x2-x+1=-(x+
          1
          2
          2+
          5
          4
          5
          4

          ∴m=0時(shí),g(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]
          ,成立;
          綜上所述,存在是存在正實(shí)數(shù)m=1,
          使得g(x)=-f(x)+(2m-1)x+1在區(qū)間[-1,1]上的值域是[-1,
          5
          4
          ]
          .(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查冪函數(shù)的概念和性質(zhì),是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
          練習(xí)冊系列答案
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          2
           ),那么f(4)=
          2
          2

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          12
          )
          的值;
          (2)若f(2a+1)=f(a),求實(shí)數(shù)a的值.

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          m=3

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