Question

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB＝60°，AB＝2，E為AD的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥PB；
(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

Answer 1

（1）見解析   （2）

(1)連接PE、EB、BD，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD為等邊三角形．

又E為AD的中點(diǎn)，所以BE⊥AE.
又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE，所以AD⊥PB.
(2)過E作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，由(1)知AD⊥平面PBE，
因?yàn)锳D∥BC，所以BC⊥平面PBE，
所以平面BPC⊥平面PBE，又平面PBC∩平面PBE＝PB，故EF⊥平面PBC.
故點(diǎn)E到平面PBC的距離EF＝＝.