Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區(qū)間I＝{x|f(x)>0}．

(1)求I的長度(注：區(qū)間(α，β)的長度定義為β－α)；

(2)給定常數(shù)k∈(0，1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，求I的長度的最小值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)令f(x)＝x[a－(1＋a2)x]＝0，

解得x1＝0，x2＝，∴I＝，∴I的長度為x2－x1＝.

(2)k∈(0，1)，則0<1－k≤a≤1＋k<2.

由(1)知I的長度為，設(shè)g(a)＝，令g′(a)＝>0，則0<a<1.

故g(a)關(guān)于a在[1－k，1)上單調(diào)遞增，在(1，1＋k]上單調(diào)遞減．

g(1－k)＝＝，g(1＋k)＝，

故g(a)min＝，即I的長度的最小值為