Question

(本小題滿分l2分)

  已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，點(diǎn)（2，3）、在該橢圓上，線段的中點(diǎn)在直線上，且三點(diǎn)不共線．

  (I)求橢圓的方程及直線的斜率；

  (Ⅱ)求面積的最大值．

Answer 1

(本小題滿分12分)

解：（I）設(shè)橢圓的方程為，

則，得，.

所以橢圓的方程為.…………………3分

設(shè)直線AB的方程為_{(依題意可知直線的斜率存在)，}

設(shè)，則由，得

_{,由，得，}

，設(shè)

,易知_，

由OT與OP斜率相等可得，即，

所以橢圓的方程為，直線AB的斜率為.……………………6分

（II）設(shè)直線AB的方程為，即，

由

得，

，.………………8分

.．

點(diǎn)P到直線AB的距離為.

于是的面積為

……………………10分

設(shè)，，其中.

在區(qū)間內(nèi)，，是減函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)，，是增函數(shù).所以的最大值為.于是的最大值為18.…………………12分