Question

(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是PC的中點，=PD，BC=AD．

（Ⅰ）求證：平面BMQ；

（Ⅱ）求證：平面PQB⊥平面PAD.

Answer 1

(本小題滿分12分)

證明：（Ⅰ）連接AC，交BQ于N，連接MN． ………… 2分

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．

∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，

又∵點M在是棱PC的中點，

∴ MN // PA           ……………………  4分

∵MN平面MQB，PA平面MQB，……… 5分

∴ PA // 平面MBQ．    …………………  6分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，

∴CD // BQ ．         ………………… 8分

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ………… 10分

∴BQ⊥平面PAD．             ………  11分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．      …………… 12分

另證：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點

∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD.

∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．               

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．      

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．