Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）在R是減函數(shù)；
（3）解不等式f(

3

x

)+f(x-1)≤-6．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)當x＞0時，f（x）＜0，結(jié)合（1）中結(jié)論，及函數(shù)單調(diào)性的定義可得答案．
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論及f（1）=-2，我們可將不等式f(

3

x

)+f(x-1)≤-6，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的分式不等式，解答可得答案．

解答：證明：（1）∵對任意的m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n），①
令m=n=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）（2分）
∴f（0）=0
令n=-m得，f（m-m）=f（m）+f（-m）=f（0）=0，（1分）
即f（-m）=-f（m）
即f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)（3分）
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₁）．
∵當x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的減函數(shù)．
（3）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-4-2=-6，
則不等式f(

3

x

)+f(x-1)≤-6可化為f(

3

x

+x-1)≤f(3)
由（2）中f（x）是R上的減函數(shù)
∴

3

x

+x-1≥3
即

x2-4x+3

x

≥0，
即

x(x-1)(x-3)≥0 x≠0

解得：x∈（0，1]∪[3，+∞）

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的最值及其幾何意義，其中根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性是解答本題的關(guān)鍵．