Question

五個人排成一排，按下列要求分別有多少種排法？

（1）其中甲不站排頭；

（2）其中甲不站排頭，乙不站排尾；

（3）其中甲、乙兩人必須相鄰；

（4）其中甲、乙兩人必須不相鄰；

（5）其中甲、乙中間有且只有一人；

（6）其中甲必須排在乙的右邊.

Answer 1

解：（1）如先排甲，有4種排法，然后排其余4人，有A種排法，故有4×A=96種；如先排排頭，有4種排法，然后其余4個位置有A種排法，故有4A=96種；如先不考慮排頭，則5個人排成一排有A種排法，其中甲在排頭有A種排法，所以甲不站排頭有A-A=96種.

（2）如甲在排尾，其余四人有A種排法，如甲排在中間三個位置中一個，而乙不在排尾，則有A×A×A=54種，共有A+54=78種；如先不考慮排頭、排尾，則五個人排一排有A種排法，其中甲在排頭有A種，乙在排尾有A種，甲在排頭且乙在排尾共有A種.故共有A-2A+A=78種.

（3）將甲、乙兩人捆在一起作為一個元素，與其他3個元素作全排列有A種，然后甲乙再作全排列有A種，故有AA=48種.

（4）五個人排成一排有A種排法，除去甲、乙兩人相鄰的排法48種，故共有A-48=72種.如先排甲、乙以外的三個，則有A種排法；這三個之間及兩端留出4個空位去排甲、乙兩人有A種排法，故共有AA=72種.

（5）甲、乙兩人有A種排法，從剩下的三人中選一人插入甲、乙中間，有A種，然后再將三人看作一個元素，和其他兩個元素作全排列，有A種，故共有A·A·A=36種.

（6）五個人全排列有A種，甲在乙的左邊的排法種數(shù)與甲在乙的右邊的排法種數(shù)各占一半，故共有A=60種.