Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是四邊形ABCD對角線的交點．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求證：平面AB₁D₁⊥平面A₁AC；
（3）設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，求多面體D₁DAOB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）作平行線，通過線線平行⇒線面平行；
（2）證明平面AB₁D₁內(nèi)的直線B₁D₁垂直于另一平面，再由線面垂直⇒面面垂直；
（3）利用棱錐的換底性，求得高與底面面積，再根據(jù)公式求解即可．

解答：解：（1）證明：連接A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴A₁ACC₁是矩形．
∴A₁C₁∥AC，且 A₁C₁=AC．
又O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點，
∴O₁C₁∥AO，且O₁C₁=AO．
∴AOC₁O₁是平行四邊形．
∴C₁O∥AO₁．
又AO₁?平面AB₁D₁，C₁O?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）方法一：
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁B₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．       
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
而D₁B₁∥BD，∴D₁B₁⊥AC．                   
∵A₁A∩AC=A，∴D₁B₁⊥平面A₁AC．         
∵D₁B₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面A₁AC． 
方法二：連接A₁B．
∵A₁ABB₁是正方形，∴A₁B⊥AB₁．            
∵CB⊥平面A₁ABB₁，由三垂線定理得，A₁C⊥AB₁． 
同理可證，A₁C⊥AD₁．                      
∵AB₁?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，D₁A∩AB₁=A，
∴A₁C⊥平面AB₁D₁，∵A₁C?平面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁D₁．
（3）∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∴AO⊥BD，
∵D₁D⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，∴D₁D⊥AO．     
又D₁D∩BD=D，∴AO⊥平面D₁DOB₁．           
因為DO=AO=

1

2

BD=

2

2

，D1B1=

2

，
方法一：S梯形DOB1D1=

1

2

(DO+D1B1)•D1D=

3 2

4

．          
所以VD1DAOB1=VA-ODD1B1=

1

3

•S梯形DOB1D1•D1D=

1

4

．      
方法二：VD1DAOB1=VA-D1DO+VA-D1OB1=

1

3

•S△D1DO•AO+

1

3

•S△D1OB1•AO=

1

3

•

1

2

•

2

2

•1•

2

2

+

1

3

•

1

2

•

2

•1•

2

2

=

1

4

．
∴多面體D₁DAOB₁的體積是

1

4

點評：本題主要考查直線與平面平行、垂直，平面與平面垂直的判定，空間幾何體體積的計算，考查化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力和推理論證計算能力．
求幾何體的體積可采用割補法．