Question

已知橢圓

x2

9

+y2=1，過左焦點(diǎn)F₁傾斜角為

π

6

的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．求弦AB的長

2

．

Answer 1

分析：求出橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-2

2

，0），根據(jù)點(diǎn)斜率式方程設(shè)AB：y=

3

3

（x+2

2

），與橢圓方程消去y得4x²+12

2

x+15=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出A、B的橫坐標(biāo)滿足|x₁-x₂|=

3

，最后根據(jù)弦長公式即可算出弦AB的長．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

9

+y2=1，
∴焦點(diǎn)分別為F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），
∵直線AB過左焦點(diǎn)F₁傾斜角為

π

6

∴直線AB的方程為y=

3

3

（x+2

2

），
將AB方程與橢圓方程消去y，得4x²+12

2

x+15=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-3

2

，x₁x₂=

15

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

因此，|AB|=

1+( 3 3 )2

•|x₁-x₂|=

4 3

•

3

=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓經(jīng)過左焦點(diǎn)且傾角為30度的弦AB，求弦長．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．