Question

已知正項數(shù)列{a_n}中,a₁=1,且log₃a_n,log₃a_n+1是方程x²(2n1)x+b_n=0的兩個實根.
（1）求a₂,b₁;
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式;
（3）若,是前項和, ,當(dāng)時,試比較與的大小.

Answer 1

（1），；（2）；（Ⅲ）當(dāng)時,,當(dāng)時, ．

試題分析：（1）是方程的兩個實根，有根與系數(shù)關(guān)系可得，，，求，的值，可利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及已知，只需令即可求出，的值；（2）求數(shù)列的通項公式，由得，，所以，即，得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公比為9的等比數(shù)列，分別寫出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，從而可得數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）若,是前項和, ,當(dāng)時,試比較與的大小，此題關(guān)鍵是求數(shù)列的通項公式，由（1）可知，可得，當(dāng)時, =0,=0,得，當(dāng)時,有基本不等式可得，從而可得0+=，即可得結(jié)論．
試題解析：（1）,
當(dāng)時,,,
,
（2）,,
的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公比為9的等比數(shù)列.
,,

（3）
當(dāng)時, =0,=0,.
當(dāng)時,
0+=
綜上,當(dāng)時,,當(dāng)時, .
或
猜測時,用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)時,已證
②假設(shè)時,成立
當(dāng)時,
即時命題成立
根據(jù)①②得當(dāng)時,
綜上,當(dāng)時,,當(dāng)時,