Question

【題目】設函數f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，

∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2，

經檢驗知：k=2滿足題意

（2）解：∵f（1）= ，a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，

解得a=2或﹣ ，其中a=﹣ 舍去．

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x為增函數，

∵x≥1，∴t≥f（1）= ，

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥ ），

若m≥ ，當t=m時，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2． …（10分）

若m＜ ，當t= 時，h（t）min= ﹣﹣3m=﹣2，解得m= ＞ ，舍去．

綜上可知：m=2

【解析】（1）利用奇函數的性質f（0）=0即可得出；（2）利用f（1）= ，可得a．可得g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．再利用指數函數與二次函數的單調性即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（�。┲担焕�用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�)，還要掌握函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)的相關知識才是答題的關鍵．