Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

．
（Ⅰ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；
（Ⅱ）對(duì)實(shí)數(shù)k的值，討論函數(shù)F（x）=f（x）-k零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，列出方程求出a的值，將a的值代入f（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)．
（II）列出x、f′（x）/f（x）的變化情況表，求出f（x）的極大值、極小值，求出k的范圍．

解答：解：（I）f'（1）=1⇒a=2⇒f（x）=-x³+2x²-4⇒f'（x）=-3x²+4x（3分）
因s，t互相獨(dú)立，故只要分別求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
當(dāng)s=-1，t=0時(shí)，f'（s）+f（t）的最小值為-11
（II）等價(jià)于討論f（x）=k的實(shí)根的個(gè)數(shù)

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	-4	↗	- 76 27	↘

∴k＞-

76

27

或k＜-4，一解；k=-

76

27

或k=-4，二解；-4＜k＜-

76

27

，三解．

點(diǎn)評(píng)：本題1考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；解決已知方程的解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題．