Question

若函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）內(nèi)有極大值，在（1，2）內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、0＜a＜

  4

  3

  ．
• B、1＜a＜

  4

  3

  ．
• C、a＞1或a＜0．
• D、0＜a＜1．

Answer 1

分析：對函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+ax求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）內(nèi)有極大值，在（1，2）內(nèi)有極小值，轉(zhuǎn)化為f′（x）的圖象在區(qū)間（0，1）和（1，2）上與x軸各有一個交點，根據(jù)二次函數(shù)根的分布求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：f′（x）=x²-2ax+a
∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）內(nèi)有極大值，在（1，2）內(nèi)有極小值，
∴f′（x）=x²-2ax+a在（0，1）和（1，2）上各有一個零點，
∴

f′(0)=a＞0 f′(1)=1-a＜0 f′(2)=4-3a＞0

，解得1＜a＜

4

3

，
故選B．

點評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法；求有關(guān)二次函數(shù)根的分布問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．