Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時f（x）= ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調性（不必證明）；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當x≥0時有 ，

∴當x≤0時，﹣x≥0，

∴ （x≤0），

∴

（2）

解：∵當x≥0時有 ，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)

又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）是在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)

（注：只判斷f（x）是在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)）

（3）

解：f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0則f（t2+2t）≤﹣f（k﹣3t2）=f（3t2﹣k）

因f（x）為增函數(shù)，由上式推得，t2+2t≤3t2﹣k，∴2t2﹣2t﹣k≥0

即對一切t∈R恒有2t2﹣2t﹣k≥0

從而判別式△=4+8k≤0，∴

【解析】（1）依題意，當x≤0時，﹣x≥0，利用 ，可求得當x≤0時的函數(shù)表達式，從而可得f（x）的解析式；（2）當x≥0時，將函數(shù) 分離出常數(shù)2，利用反比例函數(shù)的單調性可判斷出f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，再利用奇函數(shù)的單調性質，可判斷f（x）的單調性；（3）利用（2）可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質，將不等式f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0轉化為t2+2t≤3t2﹣k恒成立，利用判別式△=4+8k≤0即可求得k的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的單調性的相關知識，掌握注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；函數(shù)的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．