Question

(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）4x²-y²-4=0（x≠1且x≠-1）；（2）.

【解析】（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y），當(dāng)x=-1時(shí)，直線MA的斜率不存在；當(dāng)x=1時(shí)，直線MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此時(shí)，MA的斜率為，MB的斜率為.

由題意，有·=4

化簡(jiǎn)可得，4x²-y²-4=0

故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x²-y²-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

（2）由消去y，可得3x²-2mx-m²-4=0.  (﹡)

   對(duì)于方程(﹡)，其判別式=（-2m)²－4×3（-m²-4）=16m²+48>0

而當(dāng)1或-1為方程（*）的根時(shí)，m的值為-1或1.

結(jié)合題設(shè)（m>0）可知，m>0，且m≠1

設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為（X_Q,Y_Q）,(X_R,Y_R),則為方程（*）的兩根.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912381978074877/SYS201207091238514213541173_DA.files/image007.png">,所以，

所以。

此時(shí)        

所以

所以

綜上所述，  …………………………12分

[點(diǎn)評(píng)]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考察思維能力、運(yùn)算能力，考察函數(shù)、分類與整合等思想，并考察思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。