已知拋物線
，點
，過
的直線
交拋物線
于
兩點.
（1）若線段
中點的橫坐標等于
，求直線的斜率；
（2）設點
關于
軸的對稱點為
，求證：直線
過定點.
（1）
;（2）
解析試題分析：（1）因為點M在拋物線外面，所以過M與拋物線相交的直線斜率存在，用點斜式假設直線方程并聯(lián)立拋物線方程，消去y，即可得一個關于x的一元二次方程，由韋達定理及已知中點的橫坐標，即可求出斜率的值.
（2）由點A,B的橫坐標滿足（1）式中的一元二次方程，由韋達定理可得根與系數(shù)的等式，再寫出直線的方程，利用點差法將點A,B的坐標帶入拋物線方程.即可求出直線過定點，要做點是否存在的判定.
試題解析：（1）設過點的直線方程為
，
由 
得
因為 
，且
，
所以，
.
設
，
，則
，
.
因為線段中點的橫坐標等于，所以
，
解得，符合題意.
（2）依題意
，直線
，
又 
，
，
所以 
因為 
， 且
同號，所以
，
所以 
，
所以，直線
恒過定點.
考點：1.直線與拋物線的位置關系.2.解方程的能力.3.恒過定點的問題.4.直線方程的表示.
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的離心率為
，
軸被曲線
截得的線段長等于
的短軸長。
與
軸的交點為
，過坐標原點
的直線
與相交于點
，直線
分別與相交于點
。
（1）求、的方程；
（2）求證：
。
（3）記
的面積分別為
，若
，求
的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線x2-y2=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，
(1)求點P的坐標（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；
(2)過雙曲線的左焦點F1，作傾斜角為
的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中
，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，求△F2MN的面積S關于傾斜角的表達式。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，動點
滿足：點
到定點
與到
軸的距離之差為
.記動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點
的直線交曲線于
、
兩點，過點和原點
的直線交直線
于點
，求證：直線
平行于
軸.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知直線l：y＝x＋
，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：
＝1(a＞b＞0)的離心率e＝
，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點
，焦點
在
軸上，拋物線上的點
到的距離為2，且的橫坐標為1．直線
與拋物線交于
，
兩點.
（1）求拋物線的方程；
（2）當直線
，
的傾斜角之和為
時，證明直線
過定點.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線
經(jīng)過
、
兩點
（1）求雙曲線的方程；
（2）設直線
交雙曲線于
、
兩點，且線段
被圓
：
三等分，求實數(shù)
、
的值
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
拋物線
，其準線方程為
，過準線與
軸的交點
做直線
交拋物線于
兩點.
（1）若點
為
中點，求直線的方程；
（2）設拋物線的焦點為
，當
時，求
的面積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
（a>b>0）的離心率為
，右焦點為（
，0）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點且斜率為k的直線與橢圓交于點A（xl，y1）,B（x2，y2），若
， 求斜率k是的值．
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