Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函數(shù)g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①m＞n＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）g（x）為關(guān)于f（x）的二次函數(shù)，可用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，定區(qū)間動(dòng)軸；
（2）由（1）可知a≥3時(shí)，h（a）為一次函數(shù)且為減函數(shù)，求值域，找關(guān)系即可．

解答：解：（1）由f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
知f(x)∈[

1

3

，3]，
令f(x)∈[

1

3

，3]
設(shè)f（x）=t，則g（x）=y=t²-2at+3，則g（x）的對(duì)稱軸為t=a，故有：
①當(dāng)a≤

1

3

時(shí)，g（x）的最小值h（a）=

28

9

-

2a

3

②當(dāng)a≥3時(shí)，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③當(dāng)

1

3

＜a＜3時(shí)，g（x）的最小值h（a）=3-a²
綜上所述，h(a)=

28 9 - 2a 3 a≤ 1 3 3-a2 1 3 ＜a＜3 12-6aa≥3

（2）當(dāng)a≥3時(shí)，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3時(shí)，h（a）在[n，m]上為減函數(shù)，
所以h（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇h（m），h（n）]．
由題意，則

h(m)=n2 h(n)=m2

?

-6m+12=n2 -6n+12=m2

，
兩式相減得6n-6m=n²-m²，
又m≠n，所以m+n=6，這與m＞n＞3矛盾，
故不存在滿足題中條件的m，n的值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次二次函數(shù)的值域問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性處理，“定軸動(dòng)區(qū)間”、“定區(qū)間動(dòng)軸”．