Question

已知函數(shù)f（x）滿足（其中為f（x）在點處的導數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0有且只有兩個不等的實數(shù)根，求常數(shù)C；
（3）在（2）的條件下，若，求函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

解：（1）由，
得．
取，得，
解之，得，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
從而，
列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是和（1，+∞）；f（x）的單調遞減區(qū)間是
（2）由（1）知，；
[f（x）]_極小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有兩個不等的實數(shù)根，
等價于[f（x）]_極大值=0或[f（x）]_極小值=0．
∴常數(shù)或C=1．
（3）由（2）知，或f（x）=x³-x²-x+1．
而，所以f（x）=x³-x²-x+1．
令f（x）=x³-x²-x+1=0，得（x-1）²（x+1）=0，x₁=-1，x₂=1．
∴所求封閉圖形的面積===．
分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，令x=求出將其代入f′（x），列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，由表求出函數(shù)的單調區(qū)間．
（2）由（1）中的表，求出函數(shù)的極大值、極小值，令極大值等于0極小值等于0求出c的值．
（3）將C的值代入f（x），根據(jù)已知條件確定出f（x），令f（x）=0求出兩個根，即函數(shù)與x的軸的兩個交點，利用定積分求出函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．
點評：解決函數(shù)的單調性問題，一般求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；令導函數(shù)小于0求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間．