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        1. 四棱錐P-ABCD中,側面PDC是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是菱形且∠ADC=60°.
          (1)求證:PA⊥CD;
          (2)求二面角P-AB-D的大小.
          【答案】分析:(1)作PO⊥CD于O,連接OA,由側面PDC與底面ABCD垂直,則PO⊥面ABCD.所以PO⊥OA且PO⊥OC,又由∠ADC=60°,DO=1,AD=2,知OA⊥CD,分別以OA,OC,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能夠證明PA⊥CD.
          (2)分別求出平面ABP的法向量和平面ABD的法向量,利用向量法能夠求出二面角P-AB-D的大。
          解答:解:(1)作PO⊥CD于O,連接OA
          由側面PDC與底面ABCD垂直,則PO⊥面ABCD
          所以PO⊥OA且PO⊥OC,又由∠ADC=60°,DO=1,AD=2,
          則∠DOA=90°,即OA⊥CD
          分別以OA,OC,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
          由已知P(0,0,),A(,0,0),D(0,-1,0),C(0,1,0),
          =(,0,-),=(0,-2,0),
          =0,∴,
          ∴PA⊥CD.
          (2)∵P(0,0,),A(,0,0),B(,2,0),D(0,-1,0),
          =(,0,-),=(),
          =(
          設平面ABP的法向量為,則,
          ,解得=(1,0,1).
          設平面ABD的法向量為,則,,
          ,解得=(0,0,1),
          設二面角P-AB-D的平面角為θ,
          則cosθ=|cos<>|=||=,
          ∴θ=45°,
          故二面角P-AB-D的大小為45°.
          點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的大小的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意向量法的合理運用.
          練習冊系列答案
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          2
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          12
          ,AD=1.
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          如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q為AD的中點.
          (1)求證:PA∥平面MDB;
          (2)求證:AD⊥平面PQB;
          (3)若平面PAD⊥平面ABCD,且M為PC的中點,求四棱錐M-ABCD的體積.

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