四棱錐P-ABCD中,側面PDC是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是菱形且∠ADC=60°.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角P-AB-D的大小.
【答案】
分析:(1)作PO⊥CD于O,連接OA,由側面PDC與底面ABCD垂直,則PO⊥面ABCD.所以PO⊥OA且PO⊥OC,又由∠ADC=60°,DO=1,AD=2,知OA⊥CD,分別以OA,OC,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能夠證明PA⊥CD.
(2)分別求出平面ABP的法向量和平面ABD的法向量,利用向量法能夠求出二面角P-AB-D的大。
解答:解:(1)作PO⊥CD于O,連接OA
由側面PDC與底面ABCD垂直,則PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC,又由∠ADC=60°,DO=1,AD=2,
則∠DOA=90°,即OA⊥CD
分別以OA,OC,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
由已知P(0,0,

),A(

,0,0),D(0,-1,0),C(0,1,0),
∴

=(

,0,-

),

=(0,-2,0),
∴

=0,∴

,
∴PA⊥CD.
(2)∵P(0,0,

),A(

,0,0),B(

,2,0),D(0,-1,0),
∴

=(

,0,-

),

=(

),

,

=(

)
設平面ABP的法向量為

,則

,

,
∴

,解得

=(1,0,1).
設平面ABD的法向量為

,則

,

,
∴

,解得

=(0,0,1),
設二面角P-AB-D的平面角為θ,
則cosθ=|cos<

>|=|

|=

,
∴θ=45°,
故二面角P-AB-D的大小為45°.
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的大小的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意向量法的合理運用.