Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中a_n≠0，a₁為常數(shù)，且-2a₁，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列．
（1）當(dāng)a₁=2時(shí)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)a₁=2時(shí)，設(shè)b_n=log₂ （a_n²）-1，若對(duì)于n∈N*，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)c_n=S_n+1，問(wèn)：是否存在a₁，使數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列？若存在，求出a₁的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中-2a₁，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列，可得S_n=a_n+1-a₁，進(jìn)而可得a_n+1=2a_n，結(jié)合a₁=2時(shí)，可得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用拆項(xiàng)法可求出

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

的表達(dá)式，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）由c_n=a₁×2ⁿ-a₁+1，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可得當(dāng)且僅當(dāng)-a₁+1=0時(shí)，數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列．

解答：解：（1）∵-2a₁，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列
∴2S_n=-2a₁+2a_n+1，
∴S_n=a_n+1-a₁，…①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=a_n-a₁，…②
兩式相減得：a_n=a_n+1-a_n，
即a_n+1=2a_n，------（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₂-a₁，即a₂=2a₁，
適合a_n+1=2a_n，-------------（3分）
所以數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=2ⁿ---------------------------------------------------（4分）
（2）由（1）得a_n=2ⁿ，所以b_n=log₂ （a_n²）-1=2n-1
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∵n∈N*，
∴

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

若對(duì)于n∈N*，

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＜k恒成立，
∴k≥

1

2

-----------------（8分）
（ 3）由（1）得數(shù)列{a_n}是以a₁為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
所以c_n=S_n+1=

a1(1-2n)

1-2

+1=a₁×2ⁿ-a₁+1--------------------------（10分）
要使{c_n}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)-a₁+1=0
即a₁=1
所以存在a₁=1，使{c_n}為等比數(shù)列--------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，恒成立問(wèn)題，是數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．