Question

（理科）如圖所示的幾何體底面ABC是直角三角形，∠CAB=90°，AC=4，AB=4，DA，EC，F(xiàn)B均垂直于底面ABC，且CE=3，BF=1，AD=2，點(diǎn)G為棱EF上的一點(diǎn)，且

FG

=λ

FE

（0＜λ≤1）．
（1）求

FG

與

AB

夾角的余弦值；
（2）求

DG

•

GF

的最大值，并指出取得最大值時(shí)相應(yīng)的λ的值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得

FE

=(-4，4，2)

AB

=(4，0，0)，由坐標(biāo)運(yùn)算可得；（2同理可得向量的坐標(biāo)，可得

DG

•

GF

的表達(dá)式，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答：解：（1）以AB所在直線(xiàn)為x軸，AC所在直線(xiàn)為y軸，AD所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2）
F（4，0，1），E（0，4，3），
∴

FE

=(-4，4，2)

AB

=(4，0，0)，
∴cos?

FE

，

AB

＞=

FE • AB

| FE || AB |

=

-16

4 36

=-

2

3

，
∴

FG

與

AB

的夾角的余弦值為-

2

3

（7分）
（2）∵

FG

=λ

FE

=(-4λ，4λ，2λ)，0＜λ≤1，
∴

GF

=(4λ，-4λ，-2λ)（9分）
又 

DG

=

DF

+

FG

=(4，0，-1)+(-4λ，4λ，2λ)=(4-4λ，4λ，-1+2λ)（11分）
∴

DG

•

GF

=-16λ2+16λ-16λ2+2λ-4λ2=-36λ2+18λ（0＜λ≤1）（13分）
由二次函數(shù)的知識(shí)可知：當(dāng)λ=

1

4

時(shí)，

DG

•

GF

的最大值是

9

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積與夾角的關(guān)系，涉及二次函數(shù)的最值，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．