Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程

x=2cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+ 2

（為t參數(shù)），且曲線C₁與C₂相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）若點F（

2

，0），求△FAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將曲線C₁的參數(shù)方程

x=2cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），變?yōu)?span id="4855qnz" class="MathJye">

x

2

=cosθ，

y

2

=sinθ，平方相加即可消去參數(shù)θ化為普通方程；由曲線C₂的參數(shù)方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+ 2

（為t參數(shù)），將第一個方程代入第二個方程即可消去參數(shù)t化為普通方程．
（Ⅱ）將兩曲線的方程聯(lián)立解得交點的坐標，再利用兩點間的距離公式即可求得弦長|AB|，再利用點到直線的距離公式即可求得三角形的高，利用面積公式求出即可．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程

x=2cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ得到曲線C₁普通方程

x2

4

+

y2

2

=1；
∵曲線C₂的參數(shù)方程

x= 2 2 t y= 2 2 t+ 2

（為t參數(shù)），消去參數(shù)t得到曲線C₂的普通方程y=x+

2

．
（Ⅱ）聯(lián)立方程

x2 4 + y2 2 =1 y=x+ 2

 消去y得到關(guān)于x的方程3x2+4

2

x=0，解得x₁=0，x2=-

4 2

3

．
將x₁=0代入方程y=x+

2

，得y1=

2

，∴A（0，

2

）
同理由x2=-

4 2

3

，得到y2=-

2

3

．∴B(-

4 2

3

，-

2

3

)．
由兩點間的距離公式得|AB|=

(- 4 2 3 -0)2+(- 2 3 - 2 )2

=

8

3

．
又點F(

2

，0)到直線y=x+

2

的距離d=

| 2 -0+ 2 |

12+12

=2，
∴S_△FAB=

1

2

d×|AB|=

1

2

×2×

8

3

=

8

3

．

點評：本題考查了將參數(shù)方程化為普通方程及直線與圓錐曲線相交弦長及求三角形的面積問題，掌握方法和正確計算是解題的關(guān)鍵．