Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

m≥

3

2

．

Answer 1

分析：要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函數(shù)的駐點，得到函數(shù)f（x）的最小值，使最小值大于等于-9即可求出m的取值范圍．

解答：解析：因為函數(shù)f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，
所以f′（x）=2x³-6x²，
令f′（x）=0，得x=0或x=3，
經(jīng)檢驗知x=3是函數(shù)的一個最小值點，
所以函數(shù)的最小值為f（3）=3m-

27

2

，
因為不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，
所以3m-

27

2

≥-9，解得m≥

3

2

．
故答案：m≥

3

2

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題等等知識點，屬于中檔題．