Question

下列各圖是正方體或三棱錐，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖象共有

④

（填寫序號(hào)）

Answer 1

分析：通過作輔助線找到經(jīng)過P、R、S三點(diǎn)的平面，進(jìn)一步找到平面PRS與正方體各個(gè)棱的交點(diǎn)，從而判定①②中的四點(diǎn)共面．由三角形中位線知識(shí)直到③中的PQ∥RS，可知P、Q、R、S四點(diǎn)共面．由反證法證明④中的四點(diǎn)不共面．

解答：解：如圖，

連結(jié)PR，交BC的延長(zhǎng)線于G，交BA的延長(zhǎng)線于K，連結(jié)GS，交BB₁的延長(zhǎng)線于H，
連結(jié)HK，分別交AA₁，A₁B₁于Q（Q′），由圖可知Q（Q′）為AA₁（A₁B₁）的中點(diǎn)，
∴①②中的四點(diǎn)共面；
對(duì)于③，如圖，

連結(jié)PQ，RS，則PQ∥RS∥AB，∴P、Q、R、S四點(diǎn)共面；
對(duì)于④，∵RS?面ACD，P∈面ACD，Q∉面ACD，∴PQ與RS異面．
故四個(gè)點(diǎn)不共面的圖象共有④．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面的基本性質(zhì)即推論，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是基礎(chǔ)題．